في الرياضيات ، فإن حدسية بوانكاريه هي نظرية حول توصيف الكرة ثلاثية الأبعاد ، والتي هي الكرة الفائقة التي تحيط كرة الوحدة في الفضاء ذي الأبعاد الأربعة، والحدسية تنص على: كل مترابط ببساطة ، مغلق ثلاثي مشعب هو متماثل إلى المجال الثلاثي، والشكل المكافئ في الحدسية ينطوي على شكل أكثر تكافؤاً مقارنة بالتماثل الهوموتي، معادلة التماثل المتماثل: إذا كان المنوع ثلاثي المشابه مكافئًا مثالياً للثلاث أسطح ، فإنه يكون بالضرورة متجانسًا له.

نظريات بوانكاريه

حين نلف حول الكرة خيطا ونمسح به كل قطاعاتها، فإن الخيط سيتحول الى دوائر مختلفة المحيط، وذلك حتى يصبح نقطة، ألا وهي أبسط شكل في الفراغ ثنائي الأبعاد، وبينما نلف خيطا حول قطعة دائرية مثقوبة مثل الدونات فلن يتحول الى نقطة مهما إذاعملية المسح على سطح الدائرة، ولهذا نسمي الكرة سطحا متصلاً، بينما الدائرة أو اي جسم فيه ثقب أو أكثر هو سطح غير متصل.

وضع النظرية في الأصل هنري بوانكاريه ، بالمساحة التي تبدو محليًا مثل المساحة العادية ثلاثية الأبعاد ولكنها متصلة ، محدودة الحجم ، وتفتقر إلى أي حد، وتدعي حدسية بوانكاريه أنه إذا كانت هذه المساحة تحتوي على خاصية إضافية والتي يمكن من خلالها تشديد كل حلقة في الفضاء إلى حد ما ، فهذا يعني بالضرورة أن يكون ثلاثي الأبعاد، وقد ثبت بالفعل التخمينات مماثلة لجميع الأبعاد العليا.

دليل غريغوري بيرلمان على حدسية بوانكاريه

بعد ما يقرب من قرن من الجهد من قبل علماء الرياضيات ، قدم غريغوري بيرلمان دليلا على حدسية بوانكاريه في ثلاث ورقات متاحة في عامي 2002 و 2003 على ARXiv، والدليل المبني على برنامج ريتشارد هاميلتون لاستخدام تدفق ريتشي في محاولة لحل المشكلة، وقدم هاميلتون في وقت لاحق تعديلًا لتدفق ريتشي القياسي ، يدعى تدفق ريتشي بالجراحة لاستئصال المناطق الفردية بشكل منهجي أثناء تطورها ، بطريقة مسيطر عليها ، لكنه لم يتمكن من إثبات أن هذه الطريقة “تتلاقى” في ثلاثة أبعاد، وأكمل بيرلمان هذا الجزء من الدليل، وتحققت عدة فرق من علماء الرياضيات من صحة دليل بيرلمان.

حدسية بوانكاريه والطوبولوجيا

كانت حدسية بوانكاريه قبل إثباتها، أحد أهم الأسئلة المفتوحة في الطوبولوجيا، في عام 2000 ، تم تسميتها واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة ، والتي قدم معهد كلاي للرياضيات جائزة قدرها مليون دولار للحصول على أول حل صحيح، نجا عمل بيرلمان من المراجعة وتم تأكيده في عام 2006 ، مما أدى إلى عرضه على ميدالية الحقول ، والتي رفضها، حصل بيرلمان على جائزة الألفية في 18 مارس 2010، وفي 1 يوليو 2010 ، رفض الجائزة قائلاً إنه يعتقد أن مساهمته في إثبات حدسية بوانكاريه لم يكن أكبر من هاملتون، واعتبارًا من عام 2019 ، كانت حدسية بوانكاريه هي مشكلة الألفية الوحيدة التي تم حلها.

في 22 ديسمبر 2006 ، كرمت مجلة ساينس دليل بيرلمان على حدسية بوانكاريه باعتباره “اختراق السنة” العلمي ، وهي المرة الأولى التي يتم فيها منح هذا الشرف في مجال الرياضيات .

شرح حدسية بوانكاريه

إذا قمنا بتمديد شريط مطاطي حول سطح التفاحة ، فيمكننا تقليصها إلى حد ما عن طريق تحريكها ببطء ، دون تمزيقها ودون السماح لها بمغادرة السطح، من ناحية أخرى ، إذا تخيلنا أن الشريط المطاطي نفسه قد امتد بطريقة أو بأخرى في الاتجاه المناسب حول دونات ، فلا توجد طريقة لتقليصه إلى حد ما دون كسر الشريط المطاطي أو الدونات، نقول أن سطح التفاح “متصل ببساطة” ، لكن سطح الدونات ليس كذلك لأنه مثقوب، قبل حوالي مائة عام ، عرف بوانكاريه أن الكرة ثنائية الأبعاد تتميز أساسًا بخاصية التوصيل البسيط هذه ، وطرح السؤال المقابل على الكرة ثلاثية الأبعاد.

تبين أن هذا السؤال صعب للغاية، مر ما يقرب من قرن من الصياغة بين هنري بوانكاريه في عام 1904 وحلها من قبل غريغوري بيرلمان ، الذي تم الإعلان عنه في المخططات المنشورة على ArXiv.org في عامي 2002 و 2003، واستند حل بيرلمان على نظرية ريتشارد هاملتون لتدفق ريتشي ، واستفاد من النتائج مسافات من المقاييس بسبب تشيجر وجروموف وبيرلمان نفسه، وفي هذه الأوراق ، أثبت بيرلمان أيضًا تخمينات الهندسة الوراثية لويليام ثورستون ، وهي حالة خاصة منها تخمين بوانكاريه .

من هو بوانكاريه

هنري بوانكاريه عالم رياضيات فرنسي وعالم فيزياء وفيلسوف، تميز في جميع مجالات التخصص، وكعالم رياضيات وفيزيائي ، قدم العديد من المساهمات الأساسية الأصلية في الرياضيات البحتة والتطبيقية والفيزياء الرياضية والميكانيكا السماوية، كان مسؤولاً عن صياغة حدسية بوانكاريه، التي كانت أحد أشهر المشكلات التي لم يتم حلها في الرياضيات حتى تم حلها في 2002-2003 بواسطة بيرلمان .

أوضح بوانكاريه أهمية الانتباه إلى ثبات قوانين الفيزياء في ظل تحولات مختلفة ، وكان أول من قدم تحولات لورينتز في شكلها المتماثل الحديث، واكتشف وبانكاريه التحولات المتبقية في السرعة النسبية وسجلها في رسالة إلى هندريك لورنتز في عام 1905، وبالتالي حصل على ثبات تام لجميع معادلات ماكسويل ، وهي خطوة مهمة في صياغة نظرية النسبية الخاصة، في عام 1905 ، اقترح بوانكاريه لأول مرة موجات الجاذبية (جرافات ondes) المنبعثة من الجسم والانتشار بسرعة الضوء كما هو مطلوب بواسطة تحولات لورينتيز .