كلمة مثلث مشتقة من الكلمة اللاتينية التي تعني ثلاثي أو ثلاثة، وهو شكل مغلق يتكون من ثلاثة أجزاء خطية مرتبطة من طرف إلى طرف، ويمكن القول ايضا بأنه عبارة عن مضلع ثلاثي الجوانب.
خصائص المثلث
القاعدة والرأس
المثلث له جزء مهم يسمى رأس المثلث، أو قمة رأس المثلث، وهي عبارة عن اركان المثلث حيث أن كل مثلث له ثلاثة رؤوس، وأي مثلث يكون له أيضا قاعدة، حيث يمكن أن تكون قاعدة المثلث هي أي جانب من الجوانب الثلاثة للمثلث، وعادة ما تكون تلك التي يتم رسمها في الأسفل، ومع ذلك يمكن اختيار أي جانب كي يكون القاعدة، والقاعدة مهمة لأنها تستخدم عادة كجانب مرجعي لحساب مساحة المثلث، ومثلا في مثلث متساوي الساقين تؤخذ القاعدة عادة على أنها الجانب غير المتكافئ.
ارتفاع المثلث
ارتفاع المثلث هو خط عمودي يتم رسمه من القاعدة إلى رأس المثلث المقابلة لها، وقد يتم اللجوء لتمديد القاعد لكي يمكن رسم خط الارتفاع، وبما أن هناك ثلاث قواعد ممكنة فهناك أيضًا ثلاثة ارتفاعات محتملة لكل مثلث، وتتقاطع الارتفاعات الثلاثة عند نقطة واحدة تسمى orthocenter.
متوسط المثلث
متوسط المثلث هو خط من قمة الرأس إلى نقطة الوسط للجانب الآخر، وكل مثلث له ثلاثة خطوط متوسطة، ويتقاطع الوسطاء الثلاثة في نقطة واحدة تسمى النقطه الوسطى للمثلث.
حسابات خاصة بالمثلث
محيط المسافة حول المثلث هو مجموع جوانب المثلث الثلاثة، والزوايا الداخلية للمثلث هي زوايا رؤوس المثلث الثلاثة، والزوايا الخارجية هي الزاوية بين جانب المثلث وامتداد جانب مجاور، ويكون أقصر جانب هو دائما أصغر زاوية داخلية، ويكون الجانب الأطول دائمًا أمام أكبر زاوية داخلية، وفي جميع المثلثات يكون مجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي دائما 180 درجة، ودائماً ما تضيف الزوايا الخارجية للمثلث ما يصل إلى 360 درجة.
أنواع المثلثات في الرياضيات
هناك سبعة أنواع من المثلث، منها المثلث متساوي الاطراف ومثلث الزاوية القائمة ومثلث الزاوية المنفرجة، ومثلث الزوايا الحادة، والمثلث المتساوي الزوايا والمثلث المتساوي الساقين، والمثلث الغير متساوي الاطراف.
أهمية المثلثات
المثلثات ليست مهمة من الناحية الرياضية فحسب، بل هي أيضا أساسية للطريقة التي يتم بها بناء البيئات المادية والافتراضية، ومن بين جميع الأشكال ثنائية الأبعاد التي يمكننا صنعها من الدعامات المستقيمة من المعدن فإن المثلث شكله ثابت، والمثلثات هي أيضا مميزة لأنها أبسط مضلع وتعتبر اشهر طرق المقاربة لأي مشكلة هندسية صعبة مثل تحليل سطح معقد هو تقريبه عن طريق شبكة من المثلثات.
علم حساب المثلثات
في الهندسة الإقليدية يتم إيلاء الكثير من الاهتمام لخصائص المثلثات، ويتم إثبات العديد من النظريات باستخدام المثلثات، والمثلثات المماثلة لها نفس الشكل ولكن ليس بالضرورة بنفس الحجم، في حين أن المثلثات المتطابقة لها نفس الشكل والحجم، وواحدة من النظريات الأكثر شهرة ومفيدة في الرياضيات هي نظرية فيثاغورس حول المثلثات، حيث على وجه التحديد نظرية فيثاغورس تدور حول المثلثات القائمة الزاوية، وهي مثلثات لها زاوية 90 درجة، وتنص النظرية على أنه إذا تم تحديد طول الجانبين اللذين يشكلان الزاوية اليمنى بـ a و b، ويتم إعطاء الجانب المقابل للزاوية اليمنى ، المسمى الوتر ، بواسطة c ، ثم c 2 = a 2 + b 2.
وعلم حساب المثلثات يعني حرفيا “قياس المثلث” وهي دراسة خصائص المثلثات وتشعباتها في كل من الرياضيات النقية والتطبيقية، وأهم وظيفتين في علم المثلثات هما وظائف الجتا والظتا، ويمكن تعريف كل منهما من حيث جوانب المثلثات الصحيحة، وهذه الوظائف مهمة للغاية في حساب مقاييس الجانب والزاوية للمثلثات التي يتم بناؤها في الحاسبات العلمية وأجهزة الكمبيوتر.