قاعدة كرامر هي طريقة لحل نظام من المعادلات الخطية. سميت هذه القاعدة نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752).

التعريف

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات.

الحالة العامة

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

$$ \begin{aligned} ax_1 + bx_2 + cx_3 + ... + dx_n &= y_1 \ ex_1 + fx_2 + gx_3 + ... + hx_n &= y_2 \ ... \ kx_1 + lx_2 + mx_3 + ... + nx_n &= y_n \end{aligned} $$

حيث أن:

• a, b, c, ..., d, e, f, g, ..., h, k, l, m, n هي معاملات المعادلات.
• x_1, x_2, x_3, ..., x_n هي المتغيرات المجهولة.
• y_1, y_2, ..., y_n هي قيم المتغيرات المجهولة عند حل النظام.

الصيغة

تنص قاعدة كرامر على أن:

$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$

حيث أن:

• A هي المصفوفة المقابلة للنظام المعطى.
• A_i هي مصفوفة مشتقة من المصفوفة A عن طريق استبدال العمود i بالمتجه b.

مثال

لنفترض أن لدينا نظام المعادلات التالي:

$$ \begin{aligned} 2x + 3y &= 4 \ 4x + 5y &= 6 \end{aligned} $$

لحل هذا النظام باستخدام قاعدة كرامر، نقوم بحساب المصفوفة A والمصفوفات A_1 وA_2 كما يلي:

$$ \begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{pmatrix} \ A_1 &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \ 4 & 6 \end{pmatrix} \ A_2 &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ثم نقوم بحساب المحدد لكل من المصفوفات A وA_1 وA_2 كما يلي:

$$ \begin{aligned} \det(A) &= (2)(5) - (3)(4) = 2 \ \det(A_1) &= (3)(6) - (5)(4) = -2 \ \det(A_2) &= (2)(5) - (3)(4) = 2 \end{aligned} $$

أخيرًا، نستخدم هذه القيم لحساب قيم المتغيرات المجهولة x وy كما يلي:

$$ \begin{aligned} x &= \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-2}{2} = -1 \ y &= \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{2}{2} = 1 \end{aligned} $$

وبذلك نحصل على الحل التالي للنظام المعطى:

$$ x = -1, y = 1 $$

مزايا وعيوب قاعدة كرامر

المزايا:

• قاعدة كرامر هي طريقة مباشرة لحل نظام المعادلات الخطية.
• يمكن استخدامها لحل أي نظام من المعادلات الخطية، بغض النظر عن عدد المعادلات والمتغيرات.

العيوب:

• قد تكون قاعدة كرامر غير فعالة من حيث الحسابية بالنسبة للأنظمة الكبيرة.
• لا يمكن استخدامها لحل أنظمة المعادلات الخطية ذات المعاملات غير المستقرة.

استخدامات قاعدة كرامر